¿Pero qué están viendo mis ojos?

Sí, en efecto, las dos fotos son de la misma pintura. Increíble, ¿no? Una anamorfosis o anamorfismo es una deformación reversible de una imagen que fuerza al observador a un determinado punto de vista preestablecido o privilegiado, desde el que el elemento cobra una forma proporcionada y clara. Su razonamiento es bastante simple. No consiste en más que...

10. Circunferencia que es tangente a tres circunferencias dadas

Si consideramos las circunferencias de centros y radios respectivos C1 y r1+r3, C2 y r2+r3, y el punto P (P y r3-r3), este problema se reduce al caso sexto, ya tratado anteriormente. Como muestra la figura 15, la solución del problema actual tiene el mismo centro O1 que la solución del caso sexto y el radio se incrementa en r3 unidades. Las...

9. Circunferencia que es tangente a una recta y a dos circunferencias dadas

Si consideramos una circunferencia de centro O y radio r1, la circunferencia de centro P y radio r2, y la recta s1, se consideran el punto P, la circunferencia de centro O y radio r1+r2, y la recta s1’ (paralela a s1 pero distante de ésta r1, alejándose de P) el problema seria el mismo que el a anterior.  Las circunferencias solución...

8. Circunferencia tangente a una recta, una circunferencia y que pasa por un punto

Se consideran datos el punto P, la recta s y la circunferencia de centro O y radio r. La clave consiste en considerar una inversión de centro P y una potencia cualquiera, por ejemplo, la potencia de la circunferencia dada respecto del punto P. La circunferencia de centro P y radio PA ,siendo A el punto de tangencia de la circunferencia y la recta que pasa por...

7. Circunferencia que es tangente a dos rectas y a una circunferencia dadas

Se consideran datos las rectas s y t, y la circunferencia de centro O y radio r. Trazando dos rectas, s' y r' paralelas a s y a r respectivamente, conseguimos transformar el ejercicio en encontrar una circunferencia tangente a s' y t', y que pasa por el centro O de la circunferencia dato. Las circunferencias solución del problema original tienen el mismo centro que las circunferencias solución a este problema y sus radios, OT1 y OT2 son...

El Tangram

El Tangram es un juego popular muy antiguo, procedente de China, y está formado por siete pezas, llamadas ''tans'' que son: Un cuadrado Dos triángulos grandes Un triángulo mediano Dos triángulos pequeños Un romboide Estas siete piezas son resultado de dividir en siete partes un cuadrado, y con ellas se pueden realizar miles de figuras con caracteristicas diversas,...

6. Circunferencia que pasa por un punto y es tangente a dos circunferencias

Se consideran los centros C1 y C2 y los radios r1 y r2 de las circunferencias dadas, y el punto dado P, se calcula el centro de la homotecia directa de las circunferencias dadas, H, y el centro de la homotecia inversa, V. Los puntos B y C son inversos uno de otro en la inversion de polo H y potencia la misma que la razon de la homotecia de centro H. Considerando...

5. Circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una circunferencia dada

Se consideran los puntos P y Q, y el centro de la circunferencia O. Se hace la mediatriz del segmento PQ y la recta PQ. Los centros de las circunferencias solución tienen que estar en la mediatriz y la recta PQ será el eje radical de las dos circunferencias solución. Se dibuja una circunferencia auxiliar pasando por P y Q y cortando a la circunferencia dada....

4. Circunferencia que pasa por un punto y es tangente a dos rectas

Se sabe que los centros solución se encontrarán en la bisectriz de las dos rectas y que, si pasan por el punto P, también tendrán que hacerlo por su simétrico respecto de la bisectriz, P'. Consecuentemente, el problema se convierte en el anterior (Circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una recta) y se resolverá siguiendo los mismos pasos.   A...

3. Circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una recta

Sabemos que los centros de las circunferencias solución se deberán encontrar en la mediatriz del segmento que une los puntos A y B. Además, la recta AB será el eje radical de las mismas, por lo que si determinamos la intersección de este eje con la recta r, los puntos de tangencia T1 y T2 cumplirán la relación de potencia:MT1^2 = MT2^2 = MA·MB . Por tanto, hay...

El número Áureo.

El número áureo o de oro (también llamado número dorado, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción). Número esta representado por la letra griega Φ (fi), en honor al escultor griego Fidas.el numero aureo es es siguiente numero irracional. Este número posee muchas propiedades...

2. Circunferencia tangente a tres rectas

Las tres rectas dadas r, s, t forman un triángulo PQR. Como es sabido, las tres bisectrices de los ángulos interiores de cualquier triángulo se cortan en un único punto, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, y, por tanto, sólo hay que dibujar las tres bisectrices para determinar el centro, O1. El radio se determina con los puntos de...

1. Circunferencia que pasa por tres puntos dados

Se considera que P, Q, R son los tres puntos dados. Estos puntos forman el triángulo PQR y como las mediatrices de sus lados se cortan en un punto, el circuncentro, que es el centro de la circunferencia circuscrita a dicho triángulo, sólo hay que trazar las tres mediatrices para determinar O y dibujar la circunferencia de centro O y radio OR.    ...

El problema de Apolonio (I: Introduccion)

Apolonio de Perga (262-190 a.C.), que es ampliamente conocido por su tratado sobre las cónicas, no lo es tanto por su tratado sobre Tangencias. En éste, Apolonio describe elproblema que hoy se conoce como Problema de Apolonio y que tiene este enunciado: Dados tres objetos tales que cada uno de ellos puede ser un punto, una recta o una circunferencia, dibujar una circunferencia que sea tangente a cada uno de los tres elementos dados.Este...

La Paradoja de Banach-Tarski

Si tomamos una esfera en el espacio de radio 1 maciza es posible dividirla en 8 partes tal que aplicando movimientos rígidos oportunos a 5 de ellas por un lado y las otras 3 por otro podemos construir dos esferas (llenas) de radio 1 iguales a la de partida. Este teorema es curioso puesto que nuestro sentido común nos dice que esto es imposible, sin embargo...