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¿Pero qué están viendo mis ojos?

miércoles, 5 de mayo de 2010



Sí, en efecto, las dos fotos son de la misma pintura. Increíble, ¿no?

Una anamorfosis o anamorfismo es una deformación reversible de una imagen que fuerza al observador a un determinado punto de vista preestablecido o privilegiado, desde el que el elemento cobra una forma proporcionada y clara.

Su razonamiento es bastante simple. No consiste en más que proyectar oblicuamente la figura o escena deseada sobre el plano de dibujo, por lo que ésta resulta deformada. Sin embargo, si el observador sitúa su mirada en el centro de la perspectiva realizada, el ojo humano identifica la figura original y crea inmediatamente una imagen tridimensional virtual, que es el efecto óptico del que estamos tratando.

No obstante, el realizamiento no es para nada sencillo, pero existen artistas que la consiguen lograr con excelentes resultados, como Julian Beever o Eduardo Relero.

Cabe destacar que su uso es más antiguo de lo que pueda parecer en un principio, y muestra de ello es el cuadro Los embajadores, de Hans Holbein el Joven, en el cual la calavera de la parte central inferior sólo será vista si observamos el cuadro desde una perspectiva rasante.

 

También existen otras espectaculares variedades de anamorfismo, mediante el uso de espejos curvos o cilíndricos, como éste de Bernhard Riemann:




Aquí os dejamos más ejemplos en vídeo. ¡Disfrutadlos!

10. Circunferencia que es tangente a tres circunferencias dadas

domingo, 4 de abril de 2010

Si consideramos las circunferencias de centros y radios respectivos C1 y r1+r3, C2 y r2+r3, y el punto P (P y r3-r3), este problema se reduce al caso sexto, ya tratado anteriormente. Como muestra la figura 15, la solución del problema actual tiene el mismo centro O1 que la solución del caso sexto y el radio se incrementa en r3 unidades. Las otras soluciones se hallan igual.


9. Circunferencia que es tangente a una recta y a dos circunferencias dadas

lunes, 22 de marzo de 2010

Si consideramos una circunferencia de centro O y radio r1, la circunferencia de centro P y radio r2, y la recta s1, se consideran el punto P, la circunferencia de centro O y radio r1+r2, y la recta s1’ (paralela a s1 pero distante de ésta r1, alejándose de P) el problema seria el mismo que el a anterior. 
Las circunferencias solución de este nuevo problema resuelven el de partida considerando circunferencias con centros en los mismos puntos, O1 y O3, y radios respectivos R1-r2 y R4-r2. Con la misma circunferencia de radio r1+r2 y la paralela a s1 acercada r2 unidades a P se habrían obtenido otras dos soluciones, y con la circunferencia auxiliar de centro O y radio r1-r2 se habrían obtenido otras cuatro. En la figura vemos que las tangentes a s2 y a la misma circunferencia anterior obtenidas considerando la paralela s’1 acercada r2 unidades a P.







8. Circunferencia tangente a una recta, una circunferencia y que pasa por un punto

lunes, 15 de marzo de 2010

Se consideran datos el punto P, la recta s y la circunferencia de centro O y radio r. La clave consiste en considerar una inversión de centro P y una potencia cualquiera, por ejemplo, la potencia de la circunferencia dada respecto del punto P. La circunferencia de centro P y radio PA ,siendo A el punto de tangencia de la circunferencia y la recta que pasa por P, es una circunferencia de puntos dobles en la inversión anterior. A continuación se dibuja la circunferencia inversa de la recta dada (circunferencia de centro C y radio CP) y después se trazan las cuatro tangentes comunes a esta circunferencia y a la circunferencia dada (T1T1’, T2T2’, T3T3’, T4T4’). Se hallan las inversas de estas tangentes, ya que, como la inversión conserva los ángulos, al ser tangentes a la circunferencia dada y a la circunferencia inversa de la recta dada, sus inversas, que son circunferencias, pasan por P y son tangentes a la recta y a la circunferencia dadas. Por otra parte, como la circunferencia de centro P y radio PA es de puntos dobles, los puntos de intersección de las rectas tangentes con esta circunferencia son puntos de las circunferencias solución y por tanto, los centros de las mismas se hallan trazando las mediatrices de los segmentos determinados sobres las rectas tangentes por la circunferencia de puntos dobles y por las mediatrices de los segmentos que determinan los puntos anteriores con P.


7. Circunferencia que es tangente a dos rectas y a una circunferencia dadas

Se consideran datos las rectas s y t, y la circunferencia de centro O y radio r. Trazando dos rectas, s' y r' paralelas a s y a r respectivamente, conseguimos transformar el ejercicio en encontrar una circunferencia tangente a s' y t', y que pasa por el centro O de la circunferencia dato. Las circunferencias solución del problema
original tienen el mismo centro que las circunferencias solución a este problema y sus radios, OT1 y OT2 son r unidades menor que O1O. Si se hubieran considerado paralelas interiores, el radio debería aumentarse r unidades.

El Tangram

sábado, 6 de marzo de 2010

El Tangram es un juego popular muy antiguo, procedente de China, y está formado por siete pezas, llamadas ''tans'' que son:
  • Un cuadrado
  • Dos triángulos grandes
  • Un triángulo mediano
  • Dos triángulos pequeños
  • Un romboide
Estas siete piezas son resultado de dividir en siete partes un cuadrado, y con ellas se pueden realizar miles de figuras con caracteristicas diversas, ya sean animales, personas, objetos, figuras abstractas...
A pesar de tratarse de un juego, en la práctica, su empleo en los juegos de los niños facilita la estimulacion de diferentes habilidades como son la orientacion espacial, el razonamiento lógico espacial, coordinacion visual y motora, etc. Es, en fin, un juego destinado a desarrollar las capacidades geométrico-descriptivas. Por ello, los pedagogos y psicólogos suelen usarlos para estimular a niños en pleno desarrollo ya que permite ligar de manera lúdica la manipulación concreta de materiales con la formación de ideas abstractas.

6. Circunferencia que pasa por un punto y es tangente a dos circunferencias

miércoles, 3 de marzo de 2010

Se consideran los centros C1 y C2 y los radios r1 y r2 de las circunferencias dadas, y el punto dado P, se calcula el centro de la homotecia directa de las circunferencias dadas, H, y el centro de la homotecia inversa, V. Los puntos B y C son inversos uno de otro en la inversion de polo H y potencia la misma que la razon de la homotecia de centro H. Considerando la circunferencia determinada por P, B y C. Ésta determina con las dos circunferencias dadas los ejes radicales, y con el punto R permite encontrar el punto de tangencia T1. Con el otro eje radical se hallaria otro punto de tangencia y con éste el segundo centro. Los otros dos centros se determinarian haciendo una construccion similar considerando como polo el centro de homotecia inversa V.

5. Circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una circunferencia dada

Se consideran los puntos P y Q, y el centro de la circunferencia O. Se hace la mediatriz del segmento PQ y la recta PQ. Los centros de las circunferencias solución tienen que estar en la mediatriz y la recta PQ será el eje radical de las dos circunferencias solución. Se dibuja una circunferencia auxiliar pasando por P y Q y cortando a la circunferencia dada. El eje radical de estas dos circunferencias y el eje radical de las circunferencias solución determinarán el centro radical, R, de las tres circunferencias, y, por tanto, las tangentes dibujadas desde R a la circunferencia dada determinan los puntos de tangencia T1 y T2. Los centros solucion O1 y O2, son las intersecciones de la mediatriz a PQ con las rectas OT1 y OT2, respectivamente.
 


4. Circunferencia que pasa por un punto y es tangente a dos rectas

lunes, 1 de marzo de 2010

Se sabe que los centros solución se encontrarán en la bisectriz de las dos rectas y que, si pasan por el punto P, también tendrán que hacerlo por su simétrico respecto de la bisectriz, P'.

Consecuentemente, el problema se convierte en el anterior (Circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una recta) y se resolverá siguiendo los mismos pasos.

 

A continuación se presentan dos casos particulares muy sencillos de construir:

  • En el caso de que las rectas sean paralelas, sabemos que el centro se encontrará a la misma distancia de r que de s y, por lo tanto, también la magnitud del radio. Basta con llevar la medida del radio desde el punto P sobre la recta equidistante a las otras dos.

  • Si el punto P se encuentra en una de las rectas, entonces conocemos ya el punto de tangencia. Los centros se encontrarán donde se corte la perpendicular por P con las bisectrices.

3. Circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una recta

Sabemos que los centros de las circunferencias solución se deberán encontrar en la mediatriz del segmento que une los puntos A y B. Además, la recta AB será el eje radical de las mismas, por lo que si determinamos la intersección de este eje con la recta r, los puntos de tangencia T1 y T2 cumplirán la relación de potencia:
MT1^2 = MT2^2 = MA·MB .

Por tanto, hay que trazar una circunferencia auxiliar con centro en la mediatriz y que pase por A y B y trazar una tangente a ésta por el punto M (el punto de tangencia T se encontrará realizando el arco capaz de 90 grados del segmento OM).
Llevando la distancia MT sobre la recta r obtendremos los puntos de tangencia de las dos circunferencias solución, T1 y T2. Finalmente, las perpendiculares a r por T1 y T2 determinan los centros O1 y O2 sobre la mediatriz.


En los siguientes casos (uno cuando uno de los puntos se encuentra sobre la recta y otro cuando los dos puntos son equidistantes a la misma) el problema se hace mucho más simple, habiendo sólo una circunferencia solución con punto de tangencia conocido o fácil de hallar mediante una mediatriz.

El número Áureo.

viernes, 26 de febrero de 2010


El número áureo o de oro (también llamado número dorado, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción). Número esta representado por la letra griega Φ (fi), en honor al escultor griego Fidas.
el numero aureo es es siguiente numero irracional.


Este número posee muchas propiedades interesantes y fue descubierto como una relacion de segmentos en la antiguedad.

La sección áurea es una división en dos de un segmento según proporciones dadas por el número áureo. La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b.

Pero aqui nos centraremos en numerar algunas de las curiosidades de este numero con la vida cotidiana, el arte e incluso el cuerpo humano. el numero aureo, esta continuamente presente en nuestra vida, desde nuestros documentos de identidad hasta relaciones dentro de nuestro propio cuerpo. algunos ejemplos de las relaciones anatomicas con este numero son:

  • La relación entre nuestra altura y la altura de nuestro ombligo.
  • La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
  • La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es Φ.
  • La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz.
Aparte de estas sorprendentes relaciones en nuestro cuerpo la relación áurea también esta presente en el arte, como por ejemplo en el Partenón Griego.


En esta figura se puede comprobar que AB/CD= Φ. Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD= Φ  y CD/CA= Φ.
Aunque si investigamos, podemos encontrar un precedente al uso de esta relación áurea en el arte griego, y esto lo podemos encontrar en el antiguo Egipcio. Este ejemplo es la Gran Pirámide de Keops, donde el cociente entre la altura de uno de los triángulos que forman esta pirámide con su lado es de 2 Φ.
Una de las relaciones mas famosas de una obra de arte con el numero áureo es el Hombre de Vitruvio, de Leonardo Da Vinci. Las relaciones entre las articulaciones del Hombre de Vitruvio son el número áureo. Estas relaciones, ademas, son observables en el resto de las obras de Da Vinci. Esta obra ademas nos introduce al termino del "hombre perfecto"cuyas relaciones entre las distintas partes del cuerpo serian el numero áureo.


Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.
El rostro humano no se libra de estas relaciones, segun Da vinci la belleza estaba relacionada con su cercania a esta relación, por tanto la disposicion de los elementos de un rostro y sus distancias hacen que cuanto mas se paroximaran estas relaciones a Φ mas bello es el rostro.


Estas relaciones tienen mucha importancia en el ambito policial, ya que con la tecnologia actual,  en el caso de tener imagenes de un delincuente, se le puede identificar  por las relaciones entre los elementos de su rostro, ya que estas son unicas en cada persona. Por lo cual la cara ha pasado a ser una especia de "huella dactilar" con la que se puede identificar a una persona aunque cambie de aspecto.

En la naturaleza tambien encontramos esta relación áurea, uno de estos ejemplos es la espiral logaritmica, donde encontramos uno de los casos mas curiosos de relacion con el numero aureo.
Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.


La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.

Es curioso pero hasta las tarjetas de crédito o nuestro carnet de identidad tienen el número áureo incrustado en si mismos, el largo y ancho de esos elementos guardan una relación. Y esto no es porque si, sino porque al parecer nuestra capacidad perceptiva se acomoda mas fácilmente a estas dimensiones.






2. Circunferencia tangente a tres rectas

jueves, 25 de febrero de 2010

Las tres rectas dadas r, s, t forman un triángulo PQR. Como es sabido, las tres bisectrices de los ángulos interiores de cualquier triángulo se cortan en un único punto, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, y, por tanto, sólo hay que dibujar las tres bisectrices para determinar el centro, O1. El radio se determina con los puntos de tangencia, y éstos se hallan trazando las perpendiculares por O1 a cada uno de los lados. En la figura se ha determinado T1 trazando la perpendicular a QR por O1. También es conocido que las bisectices exteriores de dos ángulos y la interior del otro determinan los centros O2, O3 y O4 de tres circunferencias exinscritas.
Como en el caso anterior, los radios O2T2, O3T3 y O4T4 se determinan trazando perpendiculares a las rectas tangentes desde estos centros.

El trazado se simplifica mucho cuando dos de las rectas, r y s, son paralelas y la tercera, t, es secante, ya que así sabemos que los dos únicos centros solución se encontrarán en otra recta paralela equidistante a r y s.
A continuación se muestra esta construcción.

1. Circunferencia que pasa por tres puntos dados


Se considera que P, Q, R son los tres puntos dados. Estos puntos forman el triángulo PQR y como las mediatrices de sus lados se cortan en un punto, el circuncentro, que es el centro de la circunferencia circuscrita a dicho triángulo, sólo hay que trazar las tres mediatrices para determinar O y dibujar la circunferencia de centro O y radio OR.
 
 

El problema de Apolonio (I: Introduccion)

martes, 23 de febrero de 2010

Apolonio de Perga (262-190 a.C.), que es ampliamente conocido por su tratado sobre las cónicas, no lo es tanto por su tratado sobre Tangencias. En éste, Apolonio describe el
problema que hoy se conoce como Problema de Apolonio y que tiene este enunciado: 
Dados tres objetos tales que cada uno de ellos puede ser un punto, una recta o una circunferencia, dibujar una circunferencia que sea tangente a cada uno de los tres elementos dados.
Este problema da lugar a diez casos posibles y en alguno de ellos aparecen situaciones que obligan a un tratamiento particular.
Según Boyer (1986), los casos más sencillos (1,2) ya aparecen tratados en los Elementos de
Euclides. Apolonio trató estos dos casos junto los otros seis (3,4,5,6,7,8) en el Libro I de las Tangencias, y los dos casos (9,10) restantes en el Libro II de las Tangencias.
Aunque desgraciadamente estos libros se han perdido, a través de Pappus de Alejandría (s. IV d.C.) se sabe que Apolonio resolvió los nueve primeros, y hoy en día se cree que fue Isaac Newton el primer matemático que resolvió por medio de la regla y el compás el problema de encontrar la circunferencia tangente a otras tres circunferencias.

Los diez problemas de Apolonio:
  1. Tres puntos
  2. Tres rectas
  3. Dos puntos y una recta
  4. Dos rectas y un punto
  5. Dos puntos y una circunferencia
  6. Dos circunferencias y un punto
  7. Dos rectas y una circunferencia
  8. Dos circunferencias y una recta
  9. Un punto, una recta y una circunferencia
  10. Tres circunferencias

    La Paradoja de Banach-Tarski

    sábado, 20 de febrero de 2010

    Si tomamos una esfera en el espacio de radio 1 maciza es posible dividirla en 8 partes tal que aplicando movimientos rígidos oportunos a 5 de ellas por un lado y las otras 3 por otro podemos construir dos esferas (llenas) de radio 1 iguales a la de partida.

    Este teorema es curioso puesto que nuestro sentido común nos dice que esto es imposible, sin embargo es demostrable. Dentro del mundo real es imposible puesto que una de las piezas esta formada por un punto y fisicamente hablando el concepto de punto geometrico no es real. La demostracion del resultado esta basada en las propiedades de los giros del espacio y utiliza varios resultados, entre ellos uno de Hausdorff relativo a los giros y el axioma de eleccion (¿Qué es?).