La Geometria

La Geometria
en la ciudad

La Geometria

La Geometria
en la arquitectura

La Geometria

La Geometria
en la tecnología

La Geometria

La Geometria
en el campo

¿Pero qué están viendo mis ojos?

miércoles, 5 de mayo de 2010



Sí, en efecto, las dos fotos son de la misma pintura. Increíble, ¿no?

Una anamorfosis o anamorfismo es una deformación reversible de una imagen que fuerza al observador a un determinado punto de vista preestablecido o privilegiado, desde el que el elemento cobra una forma proporcionada y clara.

Su razonamiento es bastante simple. No consiste en más que proyectar oblicuamente la figura o escena deseada sobre el plano de dibujo, por lo que ésta resulta deformada. Sin embargo, si el observador sitúa su mirada en el centro de la perspectiva realizada, el ojo humano identifica la figura original y crea inmediatamente una imagen tridimensional virtual, que es el efecto óptico del que estamos tratando.

No obstante, el realizamiento no es para nada sencillo, pero existen artistas que la consiguen lograr con excelentes resultados, como Julian Beever o Eduardo Relero.

Cabe destacar que su uso es más antiguo de lo que pueda parecer en un principio, y muestra de ello es el cuadro Los embajadores, de Hans Holbein el Joven, en el cual la calavera de la parte central inferior sólo será vista si observamos el cuadro desde una perspectiva rasante.

 

También existen otras espectaculares variedades de anamorfismo, mediante el uso de espejos curvos o cilíndricos, como éste de Bernhard Riemann:




Aquí os dejamos más ejemplos en vídeo. ¡Disfrutadlos!

10. Circunferencia que es tangente a tres circunferencias dadas

domingo, 4 de abril de 2010

Si consideramos las circunferencias de centros y radios respectivos C1 y r1+r3, C2 y r2+r3, y el punto P (P y r3-r3), este problema se reduce al caso sexto, ya tratado anteriormente. Como muestra la figura 15, la solución del problema actual tiene el mismo centro O1 que la solución del caso sexto y el radio se incrementa en r3 unidades. Las otras soluciones se hallan igual.


9. Circunferencia que es tangente a una recta y a dos circunferencias dadas

lunes, 22 de marzo de 2010

Si consideramos una circunferencia de centro O y radio r1, la circunferencia de centro P y radio r2, y la recta s1, se consideran el punto P, la circunferencia de centro O y radio r1+r2, y la recta s1’ (paralela a s1 pero distante de ésta r1, alejándose de P) el problema seria el mismo que el a anterior. 
Las circunferencias solución de este nuevo problema resuelven el de partida considerando circunferencias con centros en los mismos puntos, O1 y O3, y radios respectivos R1-r2 y R4-r2. Con la misma circunferencia de radio r1+r2 y la paralela a s1 acercada r2 unidades a P se habrían obtenido otras dos soluciones, y con la circunferencia auxiliar de centro O y radio r1-r2 se habrían obtenido otras cuatro. En la figura vemos que las tangentes a s2 y a la misma circunferencia anterior obtenidas considerando la paralela s’1 acercada r2 unidades a P.







8. Circunferencia tangente a una recta, una circunferencia y que pasa por un punto

lunes, 15 de marzo de 2010

Se consideran datos el punto P, la recta s y la circunferencia de centro O y radio r. La clave consiste en considerar una inversión de centro P y una potencia cualquiera, por ejemplo, la potencia de la circunferencia dada respecto del punto P. La circunferencia de centro P y radio PA ,siendo A el punto de tangencia de la circunferencia y la recta que pasa por P, es una circunferencia de puntos dobles en la inversión anterior. A continuación se dibuja la circunferencia inversa de la recta dada (circunferencia de centro C y radio CP) y después se trazan las cuatro tangentes comunes a esta circunferencia y a la circunferencia dada (T1T1’, T2T2’, T3T3’, T4T4’). Se hallan las inversas de estas tangentes, ya que, como la inversión conserva los ángulos, al ser tangentes a la circunferencia dada y a la circunferencia inversa de la recta dada, sus inversas, que son circunferencias, pasan por P y son tangentes a la recta y a la circunferencia dadas. Por otra parte, como la circunferencia de centro P y radio PA es de puntos dobles, los puntos de intersección de las rectas tangentes con esta circunferencia son puntos de las circunferencias solución y por tanto, los centros de las mismas se hallan trazando las mediatrices de los segmentos determinados sobres las rectas tangentes por la circunferencia de puntos dobles y por las mediatrices de los segmentos que determinan los puntos anteriores con P.


7. Circunferencia que es tangente a dos rectas y a una circunferencia dadas

Se consideran datos las rectas s y t, y la circunferencia de centro O y radio r. Trazando dos rectas, s' y r' paralelas a s y a r respectivamente, conseguimos transformar el ejercicio en encontrar una circunferencia tangente a s' y t', y que pasa por el centro O de la circunferencia dato. Las circunferencias solución del problema
original tienen el mismo centro que las circunferencias solución a este problema y sus radios, OT1 y OT2 son r unidades menor que O1O. Si se hubieran considerado paralelas interiores, el radio debería aumentarse r unidades.

El Tangram

sábado, 6 de marzo de 2010

El Tangram es un juego popular muy antiguo, procedente de China, y está formado por siete pezas, llamadas ''tans'' que son:
  • Un cuadrado
  • Dos triángulos grandes
  • Un triángulo mediano
  • Dos triángulos pequeños
  • Un romboide
Estas siete piezas son resultado de dividir en siete partes un cuadrado, y con ellas se pueden realizar miles de figuras con caracteristicas diversas, ya sean animales, personas, objetos, figuras abstractas...
A pesar de tratarse de un juego, en la práctica, su empleo en los juegos de los niños facilita la estimulacion de diferentes habilidades como son la orientacion espacial, el razonamiento lógico espacial, coordinacion visual y motora, etc. Es, en fin, un juego destinado a desarrollar las capacidades geométrico-descriptivas. Por ello, los pedagogos y psicólogos suelen usarlos para estimular a niños en pleno desarrollo ya que permite ligar de manera lúdica la manipulación concreta de materiales con la formación de ideas abstractas.

6. Circunferencia que pasa por un punto y es tangente a dos circunferencias

miércoles, 3 de marzo de 2010

Se consideran los centros C1 y C2 y los radios r1 y r2 de las circunferencias dadas, y el punto dado P, se calcula el centro de la homotecia directa de las circunferencias dadas, H, y el centro de la homotecia inversa, V. Los puntos B y C son inversos uno de otro en la inversion de polo H y potencia la misma que la razon de la homotecia de centro H. Considerando la circunferencia determinada por P, B y C. Ésta determina con las dos circunferencias dadas los ejes radicales, y con el punto R permite encontrar el punto de tangencia T1. Con el otro eje radical se hallaria otro punto de tangencia y con éste el segundo centro. Los otros dos centros se determinarian haciendo una construccion similar considerando como polo el centro de homotecia inversa V.