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El número Áureo.

viernes, 26 de febrero de 2010


El número áureo o de oro (también llamado número dorado, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción). Número esta representado por la letra griega Φ (fi), en honor al escultor griego Fidas.
el numero aureo es es siguiente numero irracional.


Este número posee muchas propiedades interesantes y fue descubierto como una relacion de segmentos en la antiguedad.

La sección áurea es una división en dos de un segmento según proporciones dadas por el número áureo. La longitud total a+b es al segmento más largo a como a es al segmento más corto b.

Pero aqui nos centraremos en numerar algunas de las curiosidades de este numero con la vida cotidiana, el arte e incluso el cuerpo humano. el numero aureo, esta continuamente presente en nuestra vida, desde nuestros documentos de identidad hasta relaciones dentro de nuestro propio cuerpo. algunos ejemplos de las relaciones anatomicas con este numero son:

  • La relación entre nuestra altura y la altura de nuestro ombligo.
  • La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
  • La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es Φ.
  • La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz.
Aparte de estas sorprendentes relaciones en nuestro cuerpo la relación áurea también esta presente en el arte, como por ejemplo en el Partenón Griego.


En esta figura se puede comprobar que AB/CD= Φ. Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD= Φ  y CD/CA= Φ.
Aunque si investigamos, podemos encontrar un precedente al uso de esta relación áurea en el arte griego, y esto lo podemos encontrar en el antiguo Egipcio. Este ejemplo es la Gran Pirámide de Keops, donde el cociente entre la altura de uno de los triángulos que forman esta pirámide con su lado es de 2 Φ.
Una de las relaciones mas famosas de una obra de arte con el numero áureo es el Hombre de Vitruvio, de Leonardo Da Vinci. Las relaciones entre las articulaciones del Hombre de Vitruvio son el número áureo. Estas relaciones, ademas, son observables en el resto de las obras de Da Vinci. Esta obra ademas nos introduce al termino del "hombre perfecto"cuyas relaciones entre las distintas partes del cuerpo serian el numero áureo.


Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.
El rostro humano no se libra de estas relaciones, segun Da vinci la belleza estaba relacionada con su cercania a esta relación, por tanto la disposicion de los elementos de un rostro y sus distancias hacen que cuanto mas se paroximaran estas relaciones a Φ mas bello es el rostro.


Estas relaciones tienen mucha importancia en el ambito policial, ya que con la tecnologia actual,  en el caso de tener imagenes de un delincuente, se le puede identificar  por las relaciones entre los elementos de su rostro, ya que estas son unicas en cada persona. Por lo cual la cara ha pasado a ser una especia de "huella dactilar" con la que se puede identificar a una persona aunque cambie de aspecto.

En la naturaleza tambien encontramos esta relación áurea, uno de estos ejemplos es la espiral logaritmica, donde encontramos uno de los casos mas curiosos de relacion con el numero aureo.
Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.


La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.

Es curioso pero hasta las tarjetas de crédito o nuestro carnet de identidad tienen el número áureo incrustado en si mismos, el largo y ancho de esos elementos guardan una relación. Y esto no es porque si, sino porque al parecer nuestra capacidad perceptiva se acomoda mas fácilmente a estas dimensiones.






2. Circunferencia tangente a tres rectas

jueves, 25 de febrero de 2010

Las tres rectas dadas r, s, t forman un triángulo PQR. Como es sabido, las tres bisectrices de los ángulos interiores de cualquier triángulo se cortan en un único punto, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, y, por tanto, sólo hay que dibujar las tres bisectrices para determinar el centro, O1. El radio se determina con los puntos de tangencia, y éstos se hallan trazando las perpendiculares por O1 a cada uno de los lados. En la figura se ha determinado T1 trazando la perpendicular a QR por O1. También es conocido que las bisectices exteriores de dos ángulos y la interior del otro determinan los centros O2, O3 y O4 de tres circunferencias exinscritas.
Como en el caso anterior, los radios O2T2, O3T3 y O4T4 se determinan trazando perpendiculares a las rectas tangentes desde estos centros.

El trazado se simplifica mucho cuando dos de las rectas, r y s, son paralelas y la tercera, t, es secante, ya que así sabemos que los dos únicos centros solución se encontrarán en otra recta paralela equidistante a r y s.
A continuación se muestra esta construcción.

1. Circunferencia que pasa por tres puntos dados


Se considera que P, Q, R son los tres puntos dados. Estos puntos forman el triángulo PQR y como las mediatrices de sus lados se cortan en un punto, el circuncentro, que es el centro de la circunferencia circuscrita a dicho triángulo, sólo hay que trazar las tres mediatrices para determinar O y dibujar la circunferencia de centro O y radio OR.
 
 

El problema de Apolonio (I: Introduccion)

martes, 23 de febrero de 2010

Apolonio de Perga (262-190 a.C.), que es ampliamente conocido por su tratado sobre las cónicas, no lo es tanto por su tratado sobre Tangencias. En éste, Apolonio describe el
problema que hoy se conoce como Problema de Apolonio y que tiene este enunciado: 
Dados tres objetos tales que cada uno de ellos puede ser un punto, una recta o una circunferencia, dibujar una circunferencia que sea tangente a cada uno de los tres elementos dados.
Este problema da lugar a diez casos posibles y en alguno de ellos aparecen situaciones que obligan a un tratamiento particular.
Según Boyer (1986), los casos más sencillos (1,2) ya aparecen tratados en los Elementos de
Euclides. Apolonio trató estos dos casos junto los otros seis (3,4,5,6,7,8) en el Libro I de las Tangencias, y los dos casos (9,10) restantes en el Libro II de las Tangencias.
Aunque desgraciadamente estos libros se han perdido, a través de Pappus de Alejandría (s. IV d.C.) se sabe que Apolonio resolvió los nueve primeros, y hoy en día se cree que fue Isaac Newton el primer matemático que resolvió por medio de la regla y el compás el problema de encontrar la circunferencia tangente a otras tres circunferencias.

Los diez problemas de Apolonio:
  1. Tres puntos
  2. Tres rectas
  3. Dos puntos y una recta
  4. Dos rectas y un punto
  5. Dos puntos y una circunferencia
  6. Dos circunferencias y un punto
  7. Dos rectas y una circunferencia
  8. Dos circunferencias y una recta
  9. Un punto, una recta y una circunferencia
  10. Tres circunferencias

    La Paradoja de Banach-Tarski

    sábado, 20 de febrero de 2010

    Si tomamos una esfera en el espacio de radio 1 maciza es posible dividirla en 8 partes tal que aplicando movimientos rígidos oportunos a 5 de ellas por un lado y las otras 3 por otro podemos construir dos esferas (llenas) de radio 1 iguales a la de partida.

    Este teorema es curioso puesto que nuestro sentido común nos dice que esto es imposible, sin embargo es demostrable. Dentro del mundo real es imposible puesto que una de las piezas esta formada por un punto y fisicamente hablando el concepto de punto geometrico no es real. La demostracion del resultado esta basada en las propiedades de los giros del espacio y utiliza varios resultados, entre ellos uno de Hausdorff relativo a los giros y el axioma de eleccion (¿Qué es?).