La Paradoja de Banach-Tarski

Si tomamos una esfera en el espacio de radio 1 maciza es posible dividirla en 8 partes tal que aplicando movimientos rígidos oportunos a 5 de ellas por un lado y las otras 3 por otro podemos construir dos esferas (llenas) de radio 1 iguales a la de partida.

Este teorema es curioso puesto que nuestro sentido común nos dice que esto es imposible, sin embargo es demostrable. Dentro del mundo real es imposible puesto que una de las piezas esta formada por un punto y fisicamente hablando el concepto de punto geometrico no es real. La demostracion del resultado esta basada en las propiedades de los giros del espacio y utiliza varios resultados, entre ellos uno de Hausdorff relativo a los giros y el axioma de eleccion (¿Qué es?).