9. Circunferencia que es tangente a una recta y a dos circunferencias dadas

Si consideramos una circunferencia de centro O y radio r1, la circunferencia de centro P y radio r2, y la recta s1, se consideran el punto P, la circunferencia de centro O y radio r1+r2, y la recta s1’ (paralela a s1 pero distante de ésta r1, alejándose de P) el problema seria el mismo que el a anterior. 
Las circunferencias solución de este nuevo problema resuelven el de partida considerando circunferencias con centros en los mismos puntos, O1 y O3, y radios respectivos R1-r2 y R4-r2. Con la misma circunferencia de radio r1+r2 y la paralela a s1 acercada r2 unidades a P se habrían obtenido otras dos soluciones, y con la circunferencia auxiliar de centro O y radio r1-r2 se habrían obtenido otras cuatro. En la figura vemos que las tangentes a s2 y a la misma circunferencia anterior obtenidas considerando la paralela s’1 acercada r2 unidades a P.

8. Circunferencia tangente a una recta, una circunferencia y que pasa por un punto

Se consideran datos el punto P, la recta s y la circunferencia de centro O y radio r. La clave consiste en considerar una inversión de centro P y una potencia cualquiera, por ejemplo, la potencia de la circunferencia dada respecto del punto P. La circunferencia de centro P y radio PA ,siendo A el punto de tangencia de la circunferencia y la recta que pasa por P, es una circunferencia de puntos dobles en la inversión anterior. A continuación se dibuja la circunferencia inversa de la recta dada (circunferencia de centro C y radio CP) y después se trazan las cuatro tangentes comunes a esta circunferencia y a la circunferencia dada (T1T1’, T2T2’, T3T3’, T4T4’). Se hallan las inversas de estas tangentes, ya que, como la inversión conserva los ángulos, al ser tangentes a la circunferencia dada y a la circunferencia inversa de la recta dada, sus inversas, que son circunferencias, pasan por P y son tangentes a la recta y a la circunferencia dadas. Por otra parte, como la circunferencia de centro P y radio PA es de puntos dobles, los puntos de intersección de las rectas tangentes con esta circunferencia son puntos de las circunferencias solución y por tanto, los centros de las mismas se hallan trazando las mediatrices de los segmentos determinados sobres las rectas tangentes por la circunferencia de puntos dobles y por las mediatrices de los segmentos que determinan los puntos anteriores con P.

7. Circunferencia que es tangente a dos rectas y a una circunferencia dadas

Se consideran datos las rectas s y t, y la circunferencia de centro O y radio r. Trazando dos rectas, s' y r' paralelas a s y a r respectivamente, conseguimos transformar el ejercicio en encontrar una circunferencia tangente a s' y t', y que pasa por el centro O de la circunferencia dato. Las circunferencias solución del problema
original tienen el mismo centro que las circunferencias solución a este problema y sus radios, OT1 y OT2 son r unidades menor que O1O. Si se hubieran considerado paralelas interiores, el radio debería aumentarse r unidades.

El Tangram

El Tangram es un juego popular muy antiguo, procedente de China, y está formado por siete pezas, llamadas ''tans'' que son:

• Un cuadrado
• Dos triángulos grandes
• Un triángulo mediano
• Dos triángulos pequeños
• Un romboide

Estas siete piezas son resultado de dividir en siete partes un cuadrado, y con ellas se pueden realizar miles de figuras con caracteristicas diversas, ya sean animales, personas, objetos, figuras abstractas...
A pesar de tratarse de un juego, en la práctica, su empleo en los juegos de los niños facilita la estimulacion de diferentes habilidades como son la orientacion espacial, el razonamiento lógico espacial, coordinacion visual y motora, etc. Es, en fin, un juego destinado a desarrollar las capacidades geométrico-descriptivas. Por ello, los pedagogos y psicólogos suelen usarlos para estimular a niños en pleno desarrollo ya que permite ligar de manera lúdica la manipulación concreta de materiales con la formación de ideas abstractas.

6. Circunferencia que pasa por un punto y es tangente a dos circunferencias

Se consideran los centros C1 y C2 y los radios r1 y r2 de las circunferencias dadas, y el punto dado P, se calcula el centro de la homotecia directa de las circunferencias dadas, H, y el centro de la homotecia inversa, V. Los puntos B y C son inversos uno de otro en la inversion de polo H y potencia la misma que la razon de la homotecia de centro H. Considerando la circunferencia determinada por P, B y C. Ésta determina con las dos circunferencias dadas los ejes radicales, y con el punto R permite encontrar el punto de tangencia T1. Con el otro eje radical se hallaria otro punto de tangencia y con éste el segundo centro. Los otros dos centros se determinarian haciendo una construccion similar considerando como polo el centro de homotecia inversa V.

5. Circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una circunferencia dada

Se consideran los puntos P y Q, y el centro de la circunferencia O. Se hace la mediatriz del segmento PQ y la recta PQ. Los centros de las circunferencias solución tienen que estar en la mediatriz y la recta PQ será el eje radical de las dos circunferencias solución. Se dibuja una circunferencia auxiliar pasando por P y Q y cortando a la circunferencia dada. El eje radical de estas dos circunferencias y el eje radical de las circunferencias solución determinarán el centro radical, R, de las tres circunferencias, y, por tanto, las tangentes dibujadas desde R a la circunferencia dada determinan los puntos de tangencia T1 y T2. Los centros solucion O1 y O2, son las intersecciones de la mediatriz a PQ con las rectas OT1 y OT2, respectivamente.

 

4. Circunferencia que pasa por un punto y es tangente a dos rectas

Se sabe que los centros solución se encontrarán en la bisectriz de las dos rectas y que, si pasan por el punto P, también tendrán que hacerlo por su simétrico respecto de la bisectriz, P'.

Consecuentemente, el problema se convierte en el anterior (Circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una recta) y se resolverá siguiendo los mismos pasos.

 

A continuación se presentan dos casos particulares muy sencillos de construir:

• En el caso de que las rectas sean paralelas, sabemos que el centro se encontrará a la misma distancia de r que de s y, por lo tanto, también la magnitud del radio. Basta con llevar la medida del radio desde el punto P sobre la recta equidistante a las otras dos.

• Si el punto P se encuentra en una de las rectas, entonces conocemos ya el punto de tangencia. Los centros se encontrarán donde se corte la perpendicular por P con las bisectrices.

3. Circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una recta

Sabemos que los centros de las circunferencias solución se deberán encontrar en la mediatriz del segmento que une los puntos A y B. Además, la recta AB será el eje radical de las mismas, por lo que si determinamos la intersección de este eje con la recta r, los puntos de tangencia T1 y T2 cumplirán la relación de potencia:

MT1^2 = MT2^2 = MA·MB .

Por tanto, hay que trazar una circunferencia auxiliar con centro en la mediatriz y que pase por A y B y trazar una tangente a ésta por el punto M (el punto de tangencia T se encontrará realizando el arco capaz de 90 grados del segmento OM).

Llevando la distancia MT sobre la recta r obtendremos los puntos de tangencia de las dos circunferencias solución, T1 y T2. Finalmente, las perpendiculares a r por T1 y T2 determinan los centros O1 y O2 sobre la mediatriz.

En los siguientes casos (uno cuando uno de los puntos se encuentra sobre la recta y otro cuando los dos puntos son equidistantes a la misma) el problema se hace mucho más simple, habiendo sólo una circunferencia solución con punto de tangencia conocido o fácil de hallar mediante una mediatriz.